[hal-01078398] Half-explicit timestepping schemes on velocity level based on time-discontinuous Galerkin methods

This paper presents a time-discretization scheme for the simulation of nonsmooth mechanical systems These consist of rigid and flexible bodies joints as well as contacts and impacts with dry friction The benefit of the proposed formalism is both the consistent treatment of velocity jumps eg due to impacts and the automatic local order elevation in non-impulsive intervals at the same time For an appropriate treatment of constraints in impulsive and non-impulsive intervals constraints are implicitly formulated on velocity level in terms of an augmented Lagrangian technique 5 They are satisfied exactly without any penetration For efficiency reasons all other evaluations are explicit which yields a half-explicit method 9 10 43 44 7 29 30 The numerical scheme is an extended timestepping scheme for nonsmooth dynamics according to Moreau 42 It is based on time-discontinuous Galerkin methods to carry over higher order trial functions of event-driven integration schemes to consistent timestepping schemes for nonsmooth dynamical systems with friction and impacts Splitting separates the portion of impulsive contact forces from the portion of non-impulsive contact forces Impacts are included within the discontinuity of the piecewise continuous trial functions ie with first-order accuracy Non-impulsive contact forces are integrated with respect to the local order of the trial functions In order to satisfy the constraints a set of nonsmooth equations has to be solved in each time step depending on the number of stages the solution of the velocity jump together with the corresponding impulse yields another nonsmooth equation All nonsmooth equations are treated separately by semi-smooth Newton methods The integration scheme on acceleration level was first introduced in 51 labeled forecasting trapezoidal rule It was analyzed and applied to a decoupled bouncing ball example concerning principal suitability without taking friction into account In this work the approach is algorithmically specified improved and applied to nonlinear multi-contact examples with friction It is compared to other numerical schemes and it is shown that the newly proposed integration scheme yields a unified behavior for the description of contact mechanical problemsRésumé Cet article présente un schéma d’intégration en temps pour la simulations des systèmes mécaniques non–réguliers Ces systèmes sont constitués de cops flexibles de liaisons et aussi de contacts avec des impacts et du frottement sec L’avantage du formalisme présenté est à la fois un traitement consistant des sauts de vitesses dus aux impacts et une élévation automatique de l’ordre d’intégration local Pour un traitement approprié des contraintes dans les intervalles impulsifs et non–impulsifs les contraintes sont implicitement formulées au niveau des vitesses au moyen d’une technique de lagrangien augmenté 5 Ces contraintes sont satisfaites de manière exacte Pour raisons d’efficacité toutes les autres évaluations sont explicites ce qui conduit à une méthode semi–explicite Le schéma numérique est un schéma étendu d’intégration en temps à la Moreau 42 Il est basé sur des méthodes de Galerkin discontinues conservant les fonctions test d’ordre élevé des schémas d’intégra- tion de type event-driven et la consistance des approches de type time–stepping pour la dynamique des systèmes non réguliers avec impact et frottement Un découpage splitting sépare les efforts de contact impulsifs des efforts de contact non–impulsifs Les impacts sont contenus dans les discontinuités des fonctions test linéaires par morceaux c’est à dire avec un précision du premier ordre Les forces non impulsives sont integrées avec l’ordre local des fonctions test d’ordre supérieur Pour résoudre les contraintes un ensemble d’équations non lisses doit être résolu à chaque pas de temps suivant le nombre d’étages de la méthode La résolution du saut de vitesses conduit à une autre équation non régulière Toutes ces équations sont traitées par des méthodes de Newton semi–lisses Le schéma d’intégration au niveau des accélérations a été introduit dans 51 et dénommé fore- casting trapezoidal rule Il a été analysé et appliqué au problème de la balle rebondissante sans tenir compte du frottement Dans ce travail l’algorithmie est détaillée améliorée et appliquée à des exemples non–linéaires avec de multiplies contacts frottants Le nouveau schéma est comparé aux autres schémas numériques et il est montré qu’il conduit à un comportement unifié de la description des problèmes de mécanique du contact



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