[tel-01075625] Degenerate parabolic systems involved in fluid mechanics and medicine mathematical and numerical analysis

In this thesis we are interested in the mathematical and numerical analysis of nonlinear degenerate parabolic systems arising either from modeling the chemotaxis process or from modeling compressible flows in porous media The proposed chemotaxis model Keller-Segel model is a model of population dynamics describing the spatio-temporel evolution of the cell density and the chemical concentration For this model we study the pattern formation using the linear stability analysis as well as the principle of Turing Then we propose a numerical scheme CVFE scheme for an anisotropic Keller-Segel model The construction of the scheme is based on the use of each of the finite element scheme for the diffusion term and the upwind finite volume scheme for the convective term We show that the scheme is consistent and ensures the discrete maximum principle in the case where all the transmissibility coefficients are nonnegative Thereafter over general triangular meshes we propose and analyze a nonlinear CVFE scheme This scheme is based on the use of the Godunov flux function for the diffusion term while the convective term is approximated by parts using an upwind finite volume scheme and a Godunov flux function First the upwind finite volume scheme allows of having the discrete maximum principle On the other hand the Godunov scheme ensures the boundedness of the discrete solutions without restrictions on the mesh nor on the transmissibility coefficients Using this scheme we realize some numerical simulations to illustrate the effectiveness of the scheme Finally we are interested in a degenerate parabolic equation containing degenerate terms of order 0 and 1 and describing a chemotaxis-fluid model or a displacement of compressible flows Classical weak formulation is often possible in the absence of degenerate terms of order 0 and 1 while in the general case we obtain weak solutions in the sense of verifying a weighted formulation The definition of weak solutions is adapted to the nature of the degeneracy of the dissipative termsDans cette thèse nous nous intéressons à l’analyse mathématique et numérique des systèmes paraboliques non linéaires dégénérés découlant soit de la modélisation de la chimiotaxie soit de la modélisation des fluides compressibles Le modèle de chimiotaxie Keller-Segel proposé est un modèle de dynamique des populations décrivant l’évolution spatio-temporelle de la densité cellulaire et de la concentration chimiotactique Pour ce modèle nous étudions la formation de patterns en utilisant l’analyse de stabilité linéaire et le principe de Turing Nous proposons ensuite un schéma numérique CVFE pour un modèle anisotrope de Keller-Segel La construction de ce schéma est basée sur la méthode des éléments finis pour le terme de diffusion et sur la méthode des volumes finis classique pour le terme de convection Nous montrons que ce schéma assure le principe de maximum discret et qu’il est consistent dans le cas où tous les coefficients de transmissibilité sont positifs Par la suite sur des maillages triangulaires généraux nous proposons et analysons un schéma numérique CVFE non linéaire Ce schéma est basé sur l’utilisation d’un flux numérique de Godunov pour le terme de diffusion tandis que le terme de convection est approché au moyen d’un décentrage amont et d’un flux de Godunov D’une part le décentrage amont permet d’avoir le principe de maximum D’autre part le flux de Godunov assure que les solutions discrètes soient bornées sans restriction sur le maillage du domaine spatial ni sur les coefficients de transmissibilité Nous réalisons différentes simulations numériques bi-dimensionnelles pour illustrer l’efficacité du schéma à tenir compte des hétérogénéités Enfin nous nous intéressons à une équation parabolique dégénérée contenant des termes dégénérés d’ordre 0 et 1 et décrivant un modèle de chimiotaxie-fluide ou l’écoulement d’un fluide compressible Une formulation faible classique est souvent possible en absence des termes dégénérés d’ordre 0 et 1 tandis que dans le cas général nous obtenons des solutions dans un sens affaibli vérifiant une formulation de type inégalité variationnelle La définition des solutions faibles est adaptée à la nature de la dégénérescence des termes de dissipation



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