[tel-01078170] Algèbre homologique dans la catégorie des modules instables

The aim of this work is to study injective resolutions of certain objects in the category $\mathcalU$ of unstable modules More precisely we concentrate on the minimal injective resolution of the module $F1$ as well as ones of the reduced cohomology of spheres For that purpose the pseudo-hyper resolution is introduced allowing to construct an explicit resolution of an unstable module from an acyclic sequence admitting this module as its first homology This construction and the hyper resolution do look alike but are not identical In our situation we consider the sequence without splitting it into short exact sequences to avoid unnecessary concerns about the differentials Placing the resolutions of each term in the sequence together we obtain a fake double complex Fortunately the injectivity of modules in this double complex allow us to insert enough differentials that make the total sequence a complex This complex is indeed the resolution for the considered module To deal with the particular cases ofthe reduced cohomology of spheres the pseudo-hyper resolution wil be translated into the algorithm BG Together with this procedure the Bockstein sequence gives a simple description on a large part of the minimal injective resolution of the reduced cohomology of spheres The minimal injective resolution of $F1$ is too much to deal with Few results on this matter have been known Luckily the nilpotent part of this resolution is quite accessible Using the computations on the derived functors of the functor localisation away from $\mathcalNil$ and the computation of the Maclane cohomology we first show that this part is periodic and then give a simple description for several terms These are crucial to show that the natural map $\mathrmExt^t\mathcalU\Phi^rF1\Phi^rF1\to \mathrmExt^t\mathcalU\Phi^r+1F1\Phi^r+1F1$ is injective in many cases The work is also decorated with a new elemenatary proof on the characterization of the Krull filtration and a fully faithful embedding from the category $\mathcalPd$ to the category $\mathcalU$Cette thèse présente l’étude des résolutions injectives de certains objets de la catégorie $\mathcalU$ des modules instables nécessaire pour faire l’algèbre homologique dans cette catégorie Plus précisément on donne des descriptions sur la résolution injective minimale du module instable $F1$ libre monogène engendré par un générateur de degré $1$ ainsi que celles des cohomologies réduites des sphères Nous introduisons à cet effet de la pseudo-hyper résolution Elle permet de construire une résolution explicite d’un module instable à partir d’une suite acyclique dont la première homologie est ce module Cette construction ressemble à celle de l’hyper résolution mais n’est pas identique Dans notre situation on joue directement sur les termes de la suite acyclique considère la résolution de chaque terme et les rassemble pour avoir un faux complexe double En s’appuyant sur l’injectivité des modules de ce complexe double on y ajoute suffisamment de différentielles pour faire de la suite totale un complexe qui est en fait une résolution du module considéré Pour traiter les cohomologies des sphères on reformule la pseudo-hyper résolution sous forme d’un algorithme élémentaire appelé BG Cet algorithme joint à la suite à la Bockstein injective permet d’avoir une description explicite sur une grande partie de la résolution injective minimale dedes cohomologies réduites des sphères Une seule modeste partie de la partie nilpotente de la résolution injective minimale de $F1$ est découverte En utilisant les études sur les dérivés du fonteur de localisation loin de $\mathcalNil$ sur module $F1$ et le calcul de la cohomologie de Maclane du corps $\mathbbF2$ on montre que la partie nilpotente de la résolution est périodique et calcule explicitement quelques termes de cette partie Ce sont les ingrédients cruciales pour montrer que le morphisme naturel $\mathrmExt^t\mathcalU\Phi^rF1\Phi^rF1\to \mathrmExt^t\mathcalU\Phi^r+1F1\Phi^r+1F1$ est injectif dans plusieurs cas intéressants On décore cette thèse avec une nouvelle preuve élémentaire sur la caractérisation de la filtration de Krull de la catégorie $\mathcalU$ ainsi qu’un plongement pleinement fidèle de la catégorie $\mathcalPd$ de foncteurs polynomiaux stricts dans la catégorie $\mathcalU$



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