[tel-01076833] Codes correcteurs quantiques pouvant se décoder itérativement

Quantum information is a developping field of study with various applications in cryptography fast computing Its basic element the qubit is volatile any measurement changes its value This also applies to unvolontary measurements due to an imperfect insulation as seen in any practical setting Unless we can detect and correct these modifications any quantum computation is bound to fail These unwanted modifications remind us of errors that can happen in the transmission of a classical message These errors can be accounted for with an error correction code For quantum errors we need to set quantum error correction codes In order to prevent the clotting of errors that cannot be compensated these quantum error correction codes need to be both efficient and fast Among classical error correction codes Low Density Parity Check LDPC codes provide many perks They are easy to create fast to decode with an iterative decoding algorithme known as belief propagation and close to optimal Their quantum equivalents should then be good candidates even if they present two major drawbacks among other less important ones A quantum error correction code can be seen as a combination of two classical codes with orthogonal parity-check matrices The first issue is the building of two efficient codes with this property The other is in the decoding each row of the parity-check matrix from one code gives a light in terms of Hamming-weight code-word of the other code In fact with quantum codes corresponding errors are minor and do no affect the system but are difficult to account for with the usual iterative decoding algorithm In the first place this thesis studies an existing code based on the product of two classical codes This construction has good theoritical properties dimension and minimum distance but has shown disappointing practical results which are explained the resulting code's structure Several variations which could have good theoritical properties are also analyzed but produce no usable results at this time We then move to the study of q-ary codes This construction derived from classical codes is the enlargement of an existing LDPC code through the augmentation of its alphabet It applies to any 2-regular quantum code meaning with parity-check matrices that have exactly two ones per column and gives good performance with the well-known toric code which can be easily decoded with its own specific algorithm but not that easily with the usual belief-propagation algorithm Finally this thesis explores a quantum equivalent of spatially coupled codes an idea also derived from the classical field where it greatly enhances the performance of LDPC codes A result which has been proven If in its quantum form a proof is still not derived some spatially-coupled constructions have lead to excellent performance well beyond other recent constuctionsL'informatique quantique est un domaine récent et en plein développement dont les applications sont nombreuses cryptographie calculs plus rapides L'élément de base de ce domaine le qubit est très fragile toute mesure le modifie et cela concerne également les mesures involontaires dues à une isolation imparfaite en pratique Sans un moyen de protection contre ces modifications n'importe quel calcul quantique serait voué à l'échec Ces modifications involontaires ne sont pas sans rappeler les erreurs qui apparaissent lors de la transmission d'un message classique Pour pallier à ce genre d'aléa on utilise des codes correcteurs pour ces erreurs quantiques il faut mettre en place des codes correcteurs quantiques Ces codes correcteurs doivent non seulement être efficaces mais aussi rapides sous peine de voir s'accumuler les erreurs plus vite qu'on ne peut les corriger Parmi les codes correcteurs classiques les codes LDPC Low Density Parity Check à matrice de parité creuse offrent beaucoup d'avantages~ ils sont faciles à générer rapides à décoder grâce à un algorithme de décodage itératif appelé algorithme de propagation de croyances et efficaces Leur équivalent quantique semble donc prometteur mais se heurte entre autres à deux problèmes On peut voir un code quantique comme une paire de codes classiques dont les matrices de parité sont orthogonales entre elles Le premier problème consiste alors à construire deux bons codes qui vérifient cette propriété L'autre vient du décodage chaque ligne de la matrice de parité d'un des codes fournit un mot de code de poids faible pour le second code En réalité dans un code quantique les erreurs correspondantes sont bénignes et n'affectent pas le système mais il est difficile d'en tenir compte avec l'algorithme de décodage itératif usuel On étudie dans un premier temps une construction existante basée sur un produit de deux codes classiques Cette construction qui possède de bonnes propriétés théoriques dimension et distance minimale s'est avérée décevante dans les performances pratiques qui s'expliquent par la structure particulière du code produit Plusieurs variantes sont également étudiées et si elles n'ont pas donné de résultats pour le moment elles pourraient avoir de bonnes propriétés théoriques Ensuite on étudie des codes dits q-aires~ ce type de construction inspiré des codes classiques consiste à agrandir un code LDPC existant en augmentant la taille de son alphabet Cette construction qui s'applique à n'importe quel code quantique 2-régulier c'est-à-dire dont les matrices de parité possèdent exactement deux 1 par colonne a donné de très bonnes performances dans le cas particulier du code torique Ce code bien connu se décode usuellement très bien avec un algorithme spécifique mais mal avec l'algorithme usuel de propagation de croyances Enfin un équivalent quantique des codes spatialement couplés est proposé Cette idée vient également du monde classique où elle améliore de façon spectaculaire les performances des codes LDPC et ce résultat non trivial est même prouvé Si dans le cas quantique la preuve éventuelle reste encore à faire certaines constructions spatialement couplées ont abouti à d'excellentes performances bien au-delà de celles des constructions récentes



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