[tel-01077800] Divers aspects des arbres aléatoires des arbres de fragmentation aux cartes planaires infinies

We study three problems related to discrete and continuous random trees First we do a general study of self-similar fragmentation trees extending some results established by Haas and Miermont in 2006 in particular by computing the Hausdorff dimension of these trees under some Malthusian hypotheses We then work on a particular sequence of k-ary growing trees defined recursively with a similar method to Rémy’s algorithm from 1985 We show that the size of the tree obtained at the n-th step if of order n^1/k and after renormalization we prove that the sequence convergences to a fragmentation tree We also study embeddings of the limiting trees as k varies In the last chapter we show the local convergence in distribution of critical multi-type Galton-Watson trees conditioned to have a large number of vertices of a fixed type We then apply this result to the world of random planar maps obtaining that large critical Boltzmann-distributed maps converge locally in distribution to an infinite planar mapNous nous intéressons à trois problèmes issus du monde des arbres aléatoires discrets et continus Dans un premier lieu nous faisons une étude générale des arbres de fragmentation auto-similaires étendant certains résultats de Haas et Miermont en 2006 notamment en calculant leur dimension de Hausdorff sous des hypothèses malthusiennes Nous nous intéressons ensuite à une suite particulière d’arbres discrets k-aires construite de manière récursive avec un algorithme similaire à celui de Rémy de 1985 La taille de l’arbre obtenu à la n-ième étape est de l’ordre de n^1/k et après renormalisation on trouve que la suite converge en probabilité vers un arbre de fragmentation Nous étudions également des manières de plonger ces arbres les uns dans les autres quand k varie Dans une dernière partie nous démontrons la convergence locale en loi d’arbres de Galton-Watson multi-types critiques quand on les conditionne à avoir un grand nombre de sommets d’un certain type fixé Nous appliquons ensuite ce résultat aux cartes planaires aléatoire pour obtenir la convergence locale en loi de grandes cartes de loi de Boltzmann critique vers une carte planaire infinie



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