In this work we study two problems concerning hyperbolic systems involving interfaces The first one concerns the study of models of coupling between a compressible fluid and a pointwise particle The second one deals with the sharp numerical approximation of shocks which are discontinuities that appear in the solutions of hyperbolic systemsIn the first two parts of the manuscript we introduce different models of fluid-particle couplings The fluid and the particle interact on each other through a drag force which brings their velocities closer to one another The coupling is singular because it can be written as the product of a discontinuous function by a Dirac measure However the system can be precisely defined as follows The particle is seen as an interface through which interface conditions linking the properties of the fluid with those of the particle are imposed When the fluid follows the compressible Burgers equations we prove the convergence of a family of finite volume schemes and obtain the existence of a solution when the initial data has total bounded variation In the more difficult case where the fluid is described by the isothermal Euler equations we prove the existence and uniqueness of a selfsimilar solution to the Riemann problem when the particle is motionless Numerical experiments are also presentedIn the last part of this work we build non diffusive numerical schemes for different hyperbolic systems These finite volume schemes are built to be exact when the initial data is an isolated shock They are based on a discontinuous reconstruction of the solution at the beginning of each time step in order to reconstruct shocks inside some specific cells of the mesh The schemes we present have a very low numerical diffusion and when the reconstruction operator is well chosen they are able to correctly approximate the solution on various problematic test cases These cases include slowly moving shocks strong shocks and shock reflections for gas dynamics as well as the apparition of nonclassical shocks for systems that are not truely nonlinearDans ce travail nous nous intéressons à deux problèmes de la théorie des systèmes hyperboliques faisant intervenir des interfaces Le premier concerne des modèles de couplages entre un fluide compressible et une particule ponctuelle et le second concerne la capture numérique précise des chocs ces discontinuités qui apparaissent dans les solutions des systèmes hyperboliquesSur la première thématique nous commençons par introduire les différents modèles dans lesquels la particule et le fluide interagissent à travers une force de frottement qui tend à rapprocher leurs vitesses Le couplage est singulier car il fait intervenir le produit d’une fonction discontinue par une mesure de Dirac On peut toutefois définir précisément le système en voyant la particule comme une interface à travers laquelle des relations liant les propriétés du fluide et celle de la particule sont imposées Lorsque le fluide suit une équation de Burgers nous démontrons la convergence d’une classe de schéma numérique et nous obtenons l’existence d’une solution au problème de Cauchy pour une donnée initiale à variation totale bornée Dans le cas plus complexe où le fluide est décrit par les équa- tions d’Euler isothermes on prouve l’existence et l’unicité d’une solution autosemblable au problème de Riemann lorsque la particule est immobile Des simulations numériques sont également présentéesLa dernière partie de la thèse est consacrée à la construction de schémas non diffusifs pour les systèmes hyperboliques Ces schémas de type volumes finis sont construits pour être exact lorsque la donnée initiale est un choc isolé Ils sont basé sur une reconstruction discontinue de la solution au début de chaque itération en temps dans le but de reconstituer des chocs à l’intérieur de certaines cellules du maillage Cette stratégie mène à des schémas très peu diffusifs qui lorsque l’opérateur de reconstruction est bien choisi approchent correctement les solutions de cas tests problématiques chocs lents chocs forts réflexions pour la dynamique des gaz chocs non classiques pour les systèmes qui ne sont pas vraiment non linéaires
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