[tel-01077808] Groupe de Brauer des espaces homogènes à stabilisateur non connexe et applications arithmétiques

This thesis studies the unramified Brauer group of homogeneous spaces with non connected stabilizer and its arithmetic applcations In particular we develop different formulas of algebraic and/or arithmetic nature allowing an explicit calculation both over a finite field and over a field of characteristic 0 of the algebraic part of the unramified Brauer group of a homogeneous space G\G' under a semisimple simply connected linear group G' with finite stabilizer G We also give examples of the calculations that can be done with these formulas For achieving this goal we prove beforehand using a theorem of Gabber on alterations a result describing the prime-to-p torsion part of the unramified Brauer group of a smooth and geometrically integral variety V over a global field of characteristic p or over a finite field by evaluating the elements of BrV at its local points The formulas for finite stabilizers are later generalised to the case where the stabilizer G is any linear algebraic group using a reduction of the Galois cohomology of the group G to that of a certain finite subquotientFinally for a global field K and a finite solvable K-group G we show under certain hypotheses concerning the extension splitting G that the homogeneous space V=G\G' with G' a semi-simple simply connected K-group has the weak approximation property the hypotheses ensuring the triviality of the unramified algebraic Brauer group We use then a more precise version of this result to prove the Hasse principle forhomogeneous spaces X under a semi-simple simply connected K-group G' with finite solvable geometric stabilizer under certain hypotheses concerning the K-kernel or K-lien defined by XDans cette thèse on s'intéresse au groupe de Brauer non ramifié des espaces homogènes à stabilisateur non connexe et à ses applications arithmétiques On développe notamment différentes formules de nature algébrique et/ou arithmétique permettant de calculer explicitement tant sur un corps fini que sur un corps de caractéristique 0 la partie algébrique du groupe de Brauer non ramifié d'un espace homogène G\G' sous un groupe linéaire G' semi-simple simplement connexe à stabilisateur fini G le tout en donnant des exemples de calculs que l'on peut faire avec ces formules Pour ce faire on démontre au préalable à l'aide d'un théorème de Gabber sur les altérations un résultat décrivant la partie de torsion première à p du groupe de Brauer non ramifié d'une variété V lisse et géométriquement intègre sur un corps fini ou sur un corps global de caractéristique p au moyen de l'évaluation des éléments de BrV sur ses points locaux Les formules pour un stabilisateur fini sont ensuite généralisées au cas d'un stabilisateur G quelconque via une réduction de la cohomologie galoisienne du groupe G à celle d'un certain sous-quotient fini Enfin pour K un corps global et G un K-groupe fini résoluble on démontre sous certaines hypothèses sur une extension déployant G que l'espace homogène V=G\G' avec G' un K-groupe semi-simple simplement connexe vérifie l'approximation faible ces hypothèses assurant la nullité du groupe de Brauer non ramifié algébrique On utilise une version plus précise de ce résultat pour démontrer ensuite le principe de Hasse pour des espaces homogènes X sous un K-groupe G' semi-simple simplement connexe à stabilisateur géométrique fini et résoluble sous certaines hypothèses sur le K-lien défini par X



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